Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số

     

Với biện pháp giải các dạng toán về Hàm số tiếp tục môn Toán lớp 11 Đại số và Giải tích gồm phương pháp giải bỏ ra tiết, bài tập minh họa có giải thuật và bài bác tập từ luyện sẽ giúp đỡ học sinh biết cách làm bài bác tập những dạng toán về Hàm số tiếp tục lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Hàm số thường xuyên và bí quyết giải bài bác tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên K với x0∈K.

Bạn đang xem: Xét tính liên tục của hàm số

- Hàm số y = f(x) tiếp tục tại x0 khi và chỉ khi limx→x0f(x)=f(x0).

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0.

b) Hàm số tiếp tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) liên tiếp trên một khoảng chừng (a; b) nếu như nó liên tiếp tại đều điểm x0 của khoảng đó.

- Hàm số y = f(x) tiếp tục trên nếu nó liên tiếp trên (a; b) vàlimx→a+f(x)=f(a),limx→b−f(x)=f(b)

c) các định lý cơ bản

Định lý 1:

- Hàm số nhiều thức thường xuyên trên toàn thể tập R.

- những hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, lượng giác tiếp tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Định lý 2: cho những hàm số y = f(x) cùng y = g(x) thường xuyên tại x0. Lúc đó:

- các hàm số: y = f(x) + g(x); y = f(x) - g(x); y = f(x).g(x) liên tiếp tại x0.

- Hàm số y=fxgxliên tục tại x0 trường hợp gx0≠0.

Định lý 3: mang lại hàm số y = f(x) thường xuyên trên và f(a).f(b) 2. Các dạng toán

Dạng 1: Xét tính thường xuyên của hàm số tại một điểm

Loại 1: Xét tính liên tiếp của hàm số fx=f1x, khi x≠x0f2x, khi x=x0tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0).

Bước 2: Tính limx→x0fx=limx→x0f1x=L.

Bước 3: trường hợp f2(x0) = L thì hàm số f(x) thường xuyên tại x0.

Nếu f2x0≠Lthì hàm số f(x) không liên tục tại x0.

(Đối với việc tìm thông số m để hàm số thường xuyên tại x0, ta thay cách 3 thành: Giải phương trình L = f2(x0), tìm m)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số sau trên điểm x = - 1.

fx=x2+5x+4x+1khi x≠−13khi x=−1

Lời giải

Hàm đang cho xác minh trên R.

Ta có: f(-1) = 3

limx→−1fx=limx→−1x2+5x+4x+1=limx→−1x+1x+4x+1=limx→−1x+4=3

Ta thấylimx→−1fx=f−1

Vậy hàm số liên tục tại x = - 1.

Ví dụ 2: mang lại hàm số: fx=x−1x−1khi  x≠1m2xkhi  x=1. Kiếm tìm m nhằm hàm số tiếp tục tại x = 1.

Lời giải

Hàm đã cho xác minh trên0;+∞

Ta có

f(1) = m2.

limx→1x−1x−1=limx→11x+1=12

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì limx→1fx=f1⇔m2=12⇔m=±12=±22.

Vậy m=±22.

Loại 2: Xét tính liên tiếp của hàm số fx=f1x, khi x≥x0f2x, khi xx0tại x = x0.

Phương pháp giải:

Bước 1:

Tính f(x0) = f2(x0).

Tính giới hạn trái: limx→x0−fx=limx→x0−f2x=L1

Tính giới hạn phải:limx→x0+fx=limx→x0+f1x=L2

Bước 2:

Nếu L = L1 thì hàm số tiếp tục bên trái tại x0.

Nếu L = L2 thì hàm số thường xuyên bên buộc phải tại x0.

Nếu L = L1 = L2 thì hàm số tiếp tục tại x0.

(Nếu cả 3 trường hợp trên không xẩy ra thì hàm số không tiếp tục tại x0)

* Đối với vấn đề tìm m nhằm hàm số liên tiếp tại x0 ta giải phương trình: L = L1 = L2. Kiếm tìm m.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang lại hàm số fx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1.

Xét tính liên tục của hàm số trên x = -1.

Lời giải

*

Ví dụ 2: cho hàm số: fx=x2−3x+2x−1khi x≠1mkhi x=1. Search m nhằm hàm số liên tiếp tại x = 1

Lời giải

*

Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số trên một khoảng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét tính thường xuyên của hàm số trên các khoảng đơn

Bước 2: Xét tính liên tiếp của hàm số tại những điểm giao

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: cho hàm số y=fx=1−x2−x−1khi x12xkhi x≥1. Xét sự thường xuyên của hàm số.

Lời giải

Hàm số khẳng định và liên tiếp trên −∞;1và 1;+∞.

Xét tính tiếp tục tại x = 1

f(1) = 2.1 = 2.

limx→1fx=limx→11−x2−x−1=limx→11−x2−x+12−x−1=limx→12−x+1=2

Ta thấy limx→1fx=f1nên hàm số thường xuyên tại x = 1.

Vậy hàm số liên tiếp trên R.

Ví dụ 2: cho hàm số fx=3−9−xx , 0x9m               , x=03x               , x≥9. Tìm m để hàm số tiếp tục trên .

Lời giải

Với x∈0;9: fx=3−9−xxxác định và tiếp tục trên 0;9.

Với x∈9;+∞: fx=3xxác định và liên tục trên 9;+∞.

Với x = 9, ta cóf9=39=13=limx→9+fx

vàlimx→9−fx=limx→9−3−9−xx=3−9−99=13

Ta thấy limx→9−fx=limx→9+fx=f9nên hàm số liên tục tại x = 9.

Với x = 0 ta có f(0) = m.

limx→0+fx=limx→0+3−9−xx=limx→0+32−9+xx3+9−x=limx→0+13+9−x=16

Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại x = 0

⇒limx→0+fx=f0⇔m=16.

Vậy m=16thì hàm số liên tục trên 0;+∞.

Dạng 3: minh chứng phương trình có nghiệm

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý: mang đến hàm số y = f(x) liên tiếp trên với f(a).f(b) i; bi sao để cho các khoảng (ai; bi) rời nhau với f(ai).f(bi) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Phương trình: x4−3x3+x−18=0 gồm bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng chừng (-1; 3).

b) Phương trình 2x+61−x3=3có từng nào nghiệm.

Lời giải

a) Xét hàm số fx=x4−3x3+x−18liên tục trên <- 1; 3>.

Ta có: f−1=238;   f0=−18;   f12=116;     f1=−98;    f3=238

Ta thấy:

f(- 1).f(0) f0.f120, phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc0;12

f12.f10, phương trình có tối thiểu 1 nghiệm thuộc12;1

f(1).f(3) t=1−x3⇒x=1−t3. Lúc ấy phương trình đã cho bao gồm dạng 2t3 – 6t + 1 = 0

Xét hàm f(t) = 2t3 – 6t + 1 thường xuyên trên R

Ta có f(- 2) = - 3, f(0) = 1, f(1) = - 3, f(2) = 5.

Ta thấy:

f(- 2).f(0) = - 3 t1∈(−2;0). Khi đóx1=1−t13,x1∈(1;9).

f(0).f(1) = - 3 t2∈(0;1). Khi đóx2=1−t23,x2∈(0;1).

f(1).f(2) = - 15 t3∈(1;2). Lúc đóx3=1−t33,x3∈(−7;0).

Do kia phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có tối thiểu 3 nghiệm trực thuộc (-2; 2).

Mà phương trình bậc 3 có tối nhiều 3 nghiệm

Suy ra, phương trình 2t3 – 6t + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm ở trong (-2; 2).

Vậy phương trình 2x+61−x3=3có tối thiểu 3 nghiệm ở trong (-7; 9).

Ví dụ 2: chứng minh rằng phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Lời giải

Xét hàm số f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – 1

Ta có: f(0) = - 1 cùng f(- 1) = mét vuông + 1

nênf−1.f0=−m2+10,∀m∈ℝ

Mặt khác: f(x) = (1 – m2)x5 – 3x – một là hàm đa thức nên thường xuyên trên <-1; 0>

Suy ra, phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 có tối thiểu một nghiệm thuộc (-1; 0).

Vậy phương trình (1 – m2)x5 – 3x – 1 = 0 luôn luôn có nghiệm với đa số m.

3. Bài tập từ bỏ luyện

Câu 1. cho hàm số f(x)=x−2x−4  khi  x≠414         khi  x=4.

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại x = 4.

B. Hàm số liên tục tại đa số điểm trên tập xác minh nhưng cách quãng tại x = 4.

C. Hàm số không thường xuyên tại x = 4.

D. toàn bộ đều sai.

Câu 2. cho hàm sốfx=x+x+2x+1    , khi x>−1 2x+3            , khi x≤−1

Khẳng định nào dưới đây đúng nhất:

A. Hàm số tiếp tục tại x0 = -1.

B. Hàm số thường xuyên tại phần đa điểm.

C. Hàm số cách biệt tại x0 = -1.

D. toàn bộ đều sai.

Câu 3. mang lại hàm số f(x)=x+1+x−13x khi x≠02                   khi x=0

Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tiếp tại x0 = 0.

B. Hàm số tiếp tục tại những điểm nhưng cách trở tại x0 = 0.

C. Hàm số tiếp tục tại phần lớn điểm.

D. tất cả đều sai.

Câu 4. mang lại hàm số fx=x2−4. Lựa chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) liên tiếp tại x = 2.

(II) f(x) cách trở tại x = 2.

(III) f(x) thường xuyên trên đoạn <-2; 2>.

A. Chỉ (I) cùng (III).

B. Chỉ (I).

C. Chỉ (II).

D. Chỉ (II) và (III).

Câu 5.

Xem thêm: Chức Năng Của Tiền Tệ Và Quy Luật Lưu Thông Tiền Tệ, Chức Năng Của Tiền Tệ: Thước Đo Giá Trị

đến hàm số f(x)=x+2x2−x−6 . Xác định nào tiếp sau đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tục trên R.

B. Hàm số thường xuyên tại các R-2; 3 với hàm số ngăn cách tại x = -2; x = 3.

C. Hàm số liên tục tại x = -2; x = 3.

D. toàn bộ đều sai.

Câu 6. search m để các hàm sốf(x)=x−23+2x−1x−1  khi x≠13m−2              khi x=1 liên tục trên R

A. m = 1.

B. m=139.

C. m = 2.

D. m = 0.

Câu 7. kiếm tìm m để những hàm sốf(x)=x+1−1x    khi x>02x2+3m+1  khi x≤0 tiếp tục trên R.

A. m = 1.

B.m=−16.

C. m = 2.

D. m = 0.

Câu 8. cho hàm sốf(x)=x+73−3x+1x−1khi x≠1axkhi x=1

Tìm a để hàm số thường xuyên tại x0 = 1.

A. −23.

B. 2.

C. −32.

D. -2.

Câu 9. cho hàm số fx=a2x2        khi  x≤2,a∈ℝ2−ax2 khi  x>2.

Giá trị của a để f(x) liên tiếp trên R là:

A. 1 hoặc 2.

B. 1 hoặc -1.

C. -1 hoặc 2.

D. 1 hoặc -2.

Câu 10. đến hàm số fx=x2−3x−3 khi x≠323      khi x=3.

Tìm khẳng định đúng vào các xác minh sau:

(I). F(x) liên tục tại x=3

(II). F(x) gián đoạn tại x=3

(III). F(x) liên tiếp trên R

A. Chỉ (I) và (II).

B. Chỉ (II) với (III).

C. Chỉ (I) với (III).

D. Cả (I),(II),(III) phần đông đúng.

Câu 11. Tìm xác định đúng vào các xác định sau:

I. F(x) thường xuyên trên đoạn cùng f(a).f(b)fa.fb≥0thì phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.

B. Chỉ II đúng.

C. Cả I cùng II đúng.

D. Cả I và II sai.

Câu 12. đến phương trình 2x4 - 5x2 + x + 1 = 0 (1) .Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) không tồn tại nghiệm trong khoảng (-1; 1).

B. Phương trình (1) không tồn tại nghiệm trong vòng (-2; 0).

C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2; 1).

D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong vòng (0; 2).

Câu 13. Số nghiệm thực của phương trình: 2x3 - 6x + 1 = 0 thuộc khoảng tầm (- 2; 2) là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 14. mang lại phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0 (1) trong những số đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c.

B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với đa số a, b, c.

C. Phương trình (1) có tối thiểu hai nghiệm với mọi a, b, c.

D. Phương trình (1) có tối thiểu ba nghiệm với đa số a, b, c.

Xem thêm: Tính Thể Tích Khối Tròn Xoay Quanh Trục Oy, Thể Tích Tròn Xoay Quay Quanh Trục Oy

Câu 15. mang đến hàm số f(x) = x3 - 1000x2 + 0,01. Phương trình f(x) = 0 gồm nghiệm thuộc khoảng chừng nào trong những khoảng sau đây?