TÌM GTNN CỦA BIỂU THỨC

     

Tìm giá bán tị lớn nhất (GTLN) với giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức cất dấu căn, biểu thức đựng dấu quý hiếm tuyệt đối,…) là trong những dạng toán lớp 9 có rất nhiều bài kha khá khó và đòi hỏi kiến thức áp dụng linh hoạt trong những bài toán.

Bạn đang xem: Tìm gtnn của biểu thức

Bài viết này sẽ chia sẻ với những em một vài cách tìm giá chỉ trị lớn số 1 (GTLN, Max) với giá trị nhỏ dại nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số cất dấu căn, đựng dấu quý giá tuyệt đối,…) qua một trong những bài tập minh họa rứa thể.


° Cách tìm giá bán trị mập nhất, giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 trở thành số)

– ước ao tìm giá chỉ trị lớn số 1 hay giá bán trị nhỏ tuổi nhất của một biểu thức ta có thể thay đổi biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).


* ví dụ 1: cho biểu thức: A = x2 + 2x – 3. Tìm kiếm GTNN của A.

° Lời giải:

– Ta có: A = x2 + 2x – 3 = x2 + 2x + 1 – 1 – 3 = (x + 1)2 – 4

– vì (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 – 4 ≥ -4

⇒ A ≥ – 4 dấu bởi xảy ra, tức A = – 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

– Kết luận: Amin = -4 khi còn chỉ khi x = -1.

* lấy ví dụ như 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x – 5. Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

– Ta có: A = -x2 + 6x – 5 = -x2 + 6x – 9 + 9 – 5 = -(x – 3)2 + 4 = 4 – (x – 3)2

– vày (x – 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x – 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 – (x – 3)2 ≤ 4

⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

– Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* lấy ví dụ 3: Cho biểu thức: 

– search x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

– Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ tuổi nhất.

– Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

– Vì (x + 1)2 ≥ 0 cần (x + 1)2 + 4 ≥ 4

dấu “=” xảy ra khi và chỉ còn khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy

*

*

° Cách tìm giá chỉ trị béo nhất, giá chỉ trị nhỏ dại nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 trở nên số)

– cũng như như biện pháp tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:

*
 hoặc 
*

– vết “=” xảy ra khi A = 0.

Xem thêm: Hướng Dẫn Vẽ Sơ Đồ Tư Duy Toán 6 Chương 1, Sơ Đồ Tư Duy: Tập Hợp Toán 6

* ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– Ta thấy: 

*

*

Vì (x – 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)2 + 3 ≥ 3

nên 

*
 dấu “=” xẩy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– Ta có: 

*

*

Vì (x – 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x – 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x – 1)2 + 5 ≤ 5

nên 

*
 dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* lấy một ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

– Ta có:

*

*

*

*

*
 nên giá bán trị nhỏ nhất của B là 
*
 đạt được khi:

* ví dụ như 4: Tìm GTLN của biểu thức:

° Lời giải:

– Điều kiện: x≥0

– Để A đạt giá trị lớn nhất thì 

*
 đạt giá chỉ trị nhỏ nhất

– Ta có: 

*

Lại có: =0,forall x>=0" />=frac74,forall x>=0" />

Dấu”=” xảy ra khi 

*

– Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá chỉ trị mập nhất, giá trị bé dại nhất của biểu thức cất dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối cùng với biểu thức 1 biến đổi số)

– câu hỏi này cũng nhà yếu phụ thuộc tính ko âm của trị tốt đối.

* lấy một ví dụ 1: tra cứu GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– Ta có: |2x – 2| ≥ 0 ⇔ -|2x – 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x – 2| ≤ 5

Dấu “=” xẩy ra khi |2x – 2| = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* lấy ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 – x| – 3

° Lời giải:

– Ta có: |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| – 3 ≥ -3

Dấu “=” xẩy ra khi |9 – x| = 0 ⇔ 9 – x = 0 ⇔ x = 9

Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các chuyển đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị giỏi đối,…) với hằng số nhằm tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều vấn đề phải thực hiện bất đẳng thức Cauchy (Cosi) mang đến hai số a, b không âm: 

*
 (Dấu “=” xẩy ra khi a =b) hay vận dụng bất đẳng thức đựng dấu giá trị tuyệt đối:
*
 (dấu “=” xảy ra khi còn chỉ khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

* lấy ví dụ như 1: Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất của biểu thức: 

° Lời giải:

– vày a,b>0 nên 

– Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức đối chiếu giữa trung bình cùng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)).

Dấu “=” xảy ra khi 

– Kết luận: giá bán trị nhỏ tuổi nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* ví dụ như 2: Tìm giá bán trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

– bởi vì a > 1 buộc phải a – 1 > 0 ta có:

*
 <Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được>

=2sqrt(a-1)left ( frac1a-1 ight )+1=2+1=3" />

Dấu “=” xảy ra khi 

Đối chiếu điều kiện a > 1 nên có thể nhận a = 2; nhiều loại a = 0.

– Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với bài viết Cách tìm giá chỉ trị lớn số 1 (GTLN, Max) và giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN, Min) của biểu thức nghỉ ngơi trên giúp các em nắm rõ hơn về dạng toán này.

Xem thêm: Tầm Quan Trọng Của Hệ Thống Đê Điều Ở Đồng Bằng Sông Hồng ? Bài 2 Trang 75 Sgk Địa Lí 9

Việc áp dụng vào mỗi bài toán yên cầu kỹ năng làm cho toán của những em, năng lực này đã có được khi các em chịu khó rèn luyện qua nhiều bài tập, chúc những em học tốt.