Cách tính định thức cấp 4

     

1. Phần bù đại số

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ khi đó $A_ij=(-1)^i+jM_ij,$ với $M_ij$ là định thức nhận ra từ định thức của ma trận $A$ bằng phương pháp bỏ đi dòng $i$ và cột $j$ được call là phần bù đại số của thành phần $a_ij.$

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight).$

Tính những phần bù đại số $A_11,A_12,A_13,A_14.$

Giải.Bạn vẫn xem: phương pháp tính det ma trận cấp 4

Ta có:

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Công thức khai triển Laplace

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ khi đó

$det (A)=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in ext (i=1,2,...,n)$

đây là công thức khai triển định thức ma trận $A$ theo dòng thứ $i.$

$det (A)=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj ext (j=1,2,...,n)$

đây là bí quyết khai triển định thức ma trận $A$ theo cùng thứ $j.$

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight)$ theo cách làm khai triển dòng 1.

Bạn đang xem: Cách tính định thức cấp 4

Giải. Có$det (A)=1.A_11+2.A_12-1.A_13+m.A_14,$ trong những số ấy

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$

Ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&1&2&2\ - 3&1&5&1\ - 2&5&0&0\ 2& - 1&3& - 1 endarray ight|.$

Giải. Để ý chiếc 3 của định thức gồm 2 bộ phận bằng 0 bắt buộc khai triển theo dòng này đang chỉ bao gồm hai số hạng

Ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray*20c 0&1&2& - m\ - 2& - 1&2&1\ 0& - 3&4&2\ 0& - 5&1&1 endarray ight|.$

Giải. Để ý cột 1 bao gồm 3 thành phần bằng 0 nên khai triển theo cột 1 ta có

Ví dụ 4: Tính định thức

Giải. Để ý cột 3 có phần tử đầu tiên là 1, vậy ta sẽ thay đổi sơ cung cấp cho định thức theo cột 3


*

Ví dụ 5: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ 2& - 4&3&1\ - 3&2&1&2 endarray ight|.$

Giải.

*

Ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 3&2&1&2 endarray ight).$ Tính tổng các phần bù đại số của các bộ phận thuộc dòng 4 của ma trận $A.$

Giải. Thay các thành phần ở cái 4 của ma trận A bởi vì $-2,$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 2& - 2& - 2& - 2 endarray ight)$ bao gồm định thức bằng 0 vì gồm hai dòng giống nhau với hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các bộ phận dòng 4 kiểu như nhau.

Vậy $det (B)=-2A_41-2A_42-2A_43-2A_44=0Leftrightarrow A_41+A_42+A_43+A_44=0.$

Ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ - 4&5& - 6&7 endarray ight).$ Tính $A_41+2A_42+3A_43+4A_44.$

Giải. Thay các thành phần ở loại 4 của ma trận A lần lượt do $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ 1&2&3&4 endarray ight)$ bao gồm định thức bằng 0 vì có hai loại giống nhau với hai ma trận $A,B$ có những phần bù đại số của các bộ phận dòng 4 kiểu như nhau

Vậy $det (B)=1A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0Leftrightarrow A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0.$

Ví dụ 8: Cho D là một trong những định thức cung cấp n có tất cả các bộ phận của một dòng thứ i bởi 1. Chứng tỏ rằng:

Tổng các phần bù đại số của các phần tử thuộc mỗi cái khác chiếc thứ i đều bằng 0.Định thức D bởi tổng phần bù đại số của tất cả các thành phần của nó.

Xem thêm: Chúng Tôi Đi Không Tiếc Đời Mình, Nhà Thơ Thanh Thảo, Người Nhập Thế

Ví dụ 9: Tính định thức $left| eginarray*20c - 2&5&0& - 1&3\ 1&0&3&7& - 2\ 3& - 1&0&5& - 5\ 2&6& - 4&1&2\ 0& - 3& - 1&2&3 endarray ight|.$

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c 1& - 2&3&2& - 5\ 2&1&2& - 1&3\ 1&4&2&0&1\ 3&5&2&3&3\ 1&4&3&0& - 3 endarray ight|.$

3. Định thức của ma trận tam giác

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các bộ phận nằm trên đường chéo chính

Thật vậy, đối với ma trận tam giác trên triển khai theo cột 1 có:


*

đối cùng với ma trận tam giác dưới khai triển theo chiếc 1.

4. Tính định thức dựa vào các đặc thù định thức, bí quyết khai triển Laplace và chuyển đổi về ma trận tam giác

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|underlineunderline c2 + c3 + ... + công nhân + c1 left| eginarray*20c a + (n - 1)b&b&...&b\ a + (n - 1)b&a&...&b\ ...&...&...&...\ a + (n - 1)b&b&...&a endarray ight|\ = left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 1&a&...&b\ ...&...&...&...\ 1&b&...&a endarray ight|\ underlineunderline - d_1 + d_i left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 0&a - b&...&b\ ...&...&...&...\ 0&0&...&a - b endarray ight| = left( a + (n - 1)b ight)(b - b)^n - 1. endarray$

Hiện trên thegioimucin.com.vn xuất bản 2 khoá học Toán thời thượng 1 với Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế tài chính của toàn bộ các trường:

Khoá học cung ứng đầy đủ kỹ năng và cách thức giải bài xích tập các dạng toán đi kèm theo mỗi bài xích học. Hệ thống bài tập tập luyện dạng từ luận có lời giải chi tiết tại website để giúp đỡ học viên học cấp tốc và vận dụng chắc chắn là kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học giúp học viên được điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 với Toán thời thượng 2 trong những trường khiếp tế.

Xem thêm: Sự Phát Triển Của Xã Hội Loài Người, Lịch Sử Phát Triển Của Xã Hội Loài Người

Sinh viên những trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được bộ combo này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH yêu thương Mại

- học viện Tài Chính

- học viện ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH tổ quốc Hà Nội

và các trường đại học, ngành tài chính của các trường ĐH khác trên mọi cả nước...