Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 10

     



Bạn đang xem: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức lớp 10

*
32 trang
*
trường đạt
*
*
3611
*
2Download


Xem thêm: Vai Trò Của Pháp Luật Trong Đời Sống Xã Hội, Vai Trò Của Pháp Luật Đối Với Xã Hội

Bạn đang xem đôi mươi trang mẫu mã của tư liệu "19 cách thức chứng minh Bất đẳng thức", để thiết lập tài liệu cội về máy các bạn click vào nút DOWNLOAD làm việc trên


Xem thêm: Soạn Bài Viết Bài Tập Làm Văn Số 5 Lớp 7 Đầy Đủ 5 Đề, Văn Mẫu Viết Bài Viết Số 5: Lập Luận Chứng Minh

PHẦN 1CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý1/Định nghĩa 2/Tính chất+ A>B + A>B cùng B >C + A>B A+C >B + C + A>B và C > D A+C > B + D + A>B và C > 0 A.C > B.C + A>B với C B > 0 A > B + A > B A > B với n lẻ + > A > B với n chẵn + m > n > 0 cùng A > 1 A >A + m > n > 0 và 0 0)+ ( vệt = xảy ra khi A.B B. Ta lập hiệu A –B > 0 để ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" MVí dụ 1 " x, y, z minh chứng rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)=đúng với đa số x;y;z bởi vì (x-y)2 0 với"x ; y vệt bằng xẩy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z dấu bằng xẩy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y vệt bằng xảy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx.Dấu bằng xẩy ra khi x = y =zb)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz= ( x – y + z) đúng với mọi x;y;zVậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với đa số x;y;zDấu bằng xẩy ra khi x+y=zc) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1Ví dụ 2: minh chứng rằng :a) ; b) c) Hãy tổng quát bài toánGiải:a) Ta xét hiệu = = = Vậy .Dấu bằng xẩy ra khi a=bb)Ta xét hiệu =.VậyDấu bằng xảy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại các bước để chứng tỏ AB theo định nghĩaBước 1: Ta xét hiệu H = A - BBước 2:Biến thay đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)Bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ 1: chứng minh "m,n,p,q ta đều có : m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xảy ra khi ví dụ 2: chứng tỏ rằng với mọi a, b, c ta luôn luôn có :Giải: Ta bao gồm : , Đúng với tất cả a, b, c.Phương pháp 2 : sử dụng phép thay đổi tương đươngKiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức sẽ được chứng tỏ là đúng.Nếu A 1 x.y.z>1 xích míc gt x.y.z=1 bắt buộc phải xẩy ra trường hợp trên có nghĩa là có đúng 1 trong những ba số x ,y ,z là số to hơn 1Ví dụ 5: chứng minh rằng : Giải:Ta bao gồm : giống như ta tất cả :,Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : (*)Ta có : giống như : , cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : (**)Từ (*) với (**) , ta được : (đpcm)Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức phụKiến thức: a) b) dấu( = ) lúc x = y = 0 c) d)Ví dụ 1 mang đến a, b ,c là những số ko âm chứng tỏ rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: cần sử dụng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc lốt “=” xẩy ra khi a = b = c cách thức 4:Bất đẳng thức Cô sy con kiến thức: a/ Với hai số ko âm : , ta có: . Dấu “=” xẩy ra khi a=bb/ Bất đẳng thức không ngừng mở rộng cho n số không âm :Dấu “=” xảy ra khi chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi lúc đề cho trở thành số ko âm.Ví dụ 1 : Giải phương trình :Giải : nếu đặt t =2x thì pt biến chuyển pt bậc 6 theo t nên ta đặt khi đó phương trình tất cả dạng :Vế trái của phương trình:Vậy phương trình tương đương với : .Ví dụ 2 : mang đến x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm kiếm GTLN của p =Giải : phường = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu như a, b, c > 0 thì Suy ra Q = -Q nên phường = 3 – Q 3-=Vậy max p = .khi x = y = z = .Ví dụ 3: mang lại a, b, c >0 . Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta bao gồm :Tương tự :Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : (*)Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :Cũng theo bất đẳng thức Côsi :Viết tiếp nhì BDT tương tự (2) rồi nhân cùng với nhau sẽ tiến hành Từ (1),(3) suy ra (*). Vệt “=” xảy ra khi a = b = c tốt ABC là đều .Ví dụ 5:Cho . Chứng minh rằng: Giải: Đặt có 2 nghiệm a,cMà:Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: phương thức 5 Bất đẳng thức BunhiacopskiKiến thức:Cho 2n số thực (): . Ta luôn luôn có:Dấu “=” xẩy ra khi hay (Quy cầu : nếu mẫu mã = 0 thì tử = 0 )Chứng minh:Đặt trường hợp a = 0 xuất xắc b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.Nếu a,b > 0:Đặt: , cố kỉnh thì: mặt khác: Suy ra: Lại có: Suy ra: Dấu”=” xẩy ra Ví dụ 1 :Chứng minh rằng: , ta có: Giải: Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:Ví dụ 2: mang lại tam giác ABC có những góc A,B,C nhọn. Tìm kiếm GTLN của:Giải:* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộngCho m bộ số, mỗi bộ số bao gồm n số không âm: cố thì: Dấu”=” xẩy ra bô số (a,b,.,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,,m thì sao cho: , xuất xắc Ví dụ 1: Cho chứng minh rằng: Giải: ta có: vì thế theo bất đẳng thức Bunhiacopski:(đpcm)Ví dụ 2: mang đến 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bdmà ví dụ 3: chứng minh rằng : Giải: sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cách 1: Xét cặp số (1,1,1) cùng (a,b,c) ta bao gồm 3 Điều phải chứng tỏ Dấu bằng xẩy ra khi a=b=cPhương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sépKiến thức:a)Nếu thì .Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khib)Nếu thìDấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ còn khiVí dụ 1: đến ABC bao gồm 3 góc nhọn nội tiếp con đường tròn nửa đường kính R = 1 với S là diện tích tan giác. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.Giải: Không bớt tính tổng thể ta đưa sư Suy ra:Áp dụng BĐT trebusep ta được:Dấu ‘=’ xảy raMặt khác:Thay (2) vào (1) ta cóDấu ‘=’ xảy ra ABC đều. Ví dụ như 2(HS tự giải): a/Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR: b/Cho x,y,z>0 cùng x+y+z=1 CMR:x+2y+z c/Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: d)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y ví dụ 3: mang lại a>b>c>0 và . Minh chứng rằngGiải: vày a,b,c đối xứng ,giả sử abc Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta tất cả ==Vậy lốt bằng xảy ra khi a=b=c=Ví dụ 4: đến a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải: Ta gồm Do abcd =1 buộc phải cd = (dùng )Ta bao gồm (1) mặt khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =VậyPhương pháp7 Bất đẳng thức BernouliKiến thức:a)Dạng nguyên thủy: cho a-1, Z thì . Dấu ‘=’ xảy ra khi còn chỉ khi b) Dạng mở rộng: - cho a > -1, thì . Vệt bằng xảy ra khi còn chỉ khi a = 0.- đến thì . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi.Ví dụ 1 : chứng tỏ rằng .GiảiNếu giỏi thì BĐT luôn luôn đúngNếu 0 0.Chứng minh rằng . (1)GiảiÁp dụng BĐT Bernouli: (2)Chứng minh tương tự ta đuợc: (3) (4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có(đpcm)Chú ý: ta có bài toán tổng quát tháo sau đây:“Cho chứng tỏ rằng .Dấu ‘=’ .(chứng minh tựa như bài trên).Ví dụ 3: mang đến . Chứng minh rằng .GiảiĐặt .Chứng minh tương tự:Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta đượcChú ý: việc tổng quát lác dạng này“ đến n số Ta luôn có:Ph ương pháp 8: Sử dụng đặc thù bắc cầuKiến thức: A>B và B>C thì A>CVí dụ 1: mang lại a, b, c ,d >0 thỏa mãn nhu cầu a> c+d , b>c+d minh chứng rằng ab >ad+bc Giải:Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều nên chứng minh)Ví dụ 2: mang lại a,b,c>0 thỏa mãn nhu cầu . Chứng minh Giải: Ta gồm :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân chia hai vế mang lại abc > 0 ta có Ví dụ 3: cho 0 1-a-b-c-dGiải: Ta tất cả (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab vày a>0 , b>0 cần ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) vị c 0 ta bao gồm (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)Ví dụ 4: mang đến 0 0 1+ > + bmà 0 , > từ (1) cùng (2) 1+> +. Vậy + 0 thì trường đoản cú ` lấy một ví dụ 1: mang lại a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thành phần thức ta gồm (1) mặt khác : (2) tự (1) và (2) ta bao gồm 1 chứng tỏ rằng Giải: Ta có với k = 1,2,3,,n-1 vì chưng đó: lấy một ví dụ 2: chứng minh rằng: cùng với n là số ng ... 1 . Ta yêu cầu chứng minh: Ta có: (Vì )Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy theo nguyên tắc quy nạp: ví dụ 5: đến , . Minh chứng rằng: Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta nên chứng minh: (1)Thật vậy: + Vậy (1) được triệu chứng minhVí dụ 6: đến , . Chứng minh rằng: Giải:n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta yêu cầu chứng minh: (1)Đặt: Vậy (1) đựơc bệnh minhVí dụ 7: chứng minh rằng: Giải: n=2 n=k: giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1:Ta c ó: (vì ) Bất đẳng thức đúng với n= k+1Vậy lấy ví dụ 8: minh chứng rằng: Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta buộc phải chứng minh: Ta có: Nên: Bất đẳng thức đúng với n= k+1. Vậy: +Ph ương pháp 16: minh chứng phản tận mắt chứng kiến thức: 1) giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào kia đúng , ta hãy mang sử bất đẳng thức đó sai với kết hợp với các mang thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với đưa thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần minh chứng là đúng 2) đưa sử ta phải minh chứng luận đề “p q”Muốn chứng minh (với : mang thiết đúng, : tóm lại đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau:Giả sử không tồn tại ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải tất cả (hay đúng)Như vậy để đậy định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định tóm lại của nó . Ta hay được sử dụng 5 bề ngoài chứng minh phản bệnh sau : A - dùng mệnh đề phản hòn đảo : “P Q” B – bao phủ định rôi suy trái mang thiết C – bao phủ định rồi suy trái cùng với điều đúng D – tủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – phủ định rồi suy ra tóm lại :Ví dụ 1: Cho cha số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 minh chứng rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải: đưa sử a 0 thì trường đoản cú abc > 0 a 0 do đó a 0 với a 0 a(b+c) > -bc > 0 vì chưng a 0 b + c 0 tương tự như ta bao gồm b > 0 , c > 0Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều khiếu nại ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có tối thiểu một trong số bất đẳng thức sau là sai: , Giải: đưa sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng lúc đó cộng các vế ta được (1) Theo mang thiết ta gồm 4(b+d) 2ac (2) tự (1) cùng (2) giỏi (vô lý) Vậy vào 2 bất đẳng thức cùng có ít nhất một các bất đẳng thức saiVí dụ 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Minh chứng rằng trường hợp x+y+z > thì có một trong những ba số này lớn hơn 1 Giải :Ta tất cả (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vị xyz = theo đưa thiết x+y +z > buộc phải (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số trong những dương thật vậy nếu cả bố số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái trả thiết) Còn nếu như 2 trong 3 số kia dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +=(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 và a3 > 36 đề nghị a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều cần chứng minh2) chứng tỏ rằng a) b) với mọi số thực a , b, c ta bao gồm c) Giải: a) Xét hiệu: = = HH0 ta tất cả điều phải minh chứng b) Vế trái hoàn toàn có thể viết H = H > 0 ta tất cả đpcm c) vế trái hoàn toàn có thể viết H = H 0 ta bao gồm điều nên chứng minh* Dùng biến đổi tương đương 1) đến x > y cùng xy =1 .Chứng minh rằng Giải: Ta tất cả (vì xy = 1) cho nên BĐT cần chứng tỏ tương đương với BĐT cuối đúng cần ta bao gồm điều phải chứng minh2) cho xy 1 .Chứng minh rằng Giải: Ta bao gồm BĐT cuối này đúng vị xy > 1 .Vậy ta gồm đpcm* cần sử dụng bất đẳng thức phụ1) mang đến a , b, c là những số thực và a + b +c =1 minh chứng rằng Giải: vận dụng BĐT BunhiaCôpski đến 3 số (1,1,1) với (a,b,c) Ta tất cả (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) mang lại a,b,c là những số dương . Minh chứng rằng (1)Giải: (1) vận dụng BĐT phụ với x,y > 0. Ta tất cả BĐT cuối cùng luôn đúng Vậy (đpcm)* Dùng phương pháp bắc ước 1) mang đến 0 0 .Cminh rằng: Giải: vị a ,b ,c ,d > 0 buộc phải ta có (1) (2) (3) Cộng những vế của 4 bất đẳng thức bên trên ta có : (đpcm) 2) mang lại a ,b,c là số đo cha cạnh tam giác chứng tỏ rằng : Giải: do a ,b ,c là số đo ba cạnh của tam giác phải ta có a,b,c > 0 cùng a 0 với x+y+z =1 Giải: bởi x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta tất cả x+ y + z vận dụng bất đẳng thức Côsi mang lại x+y ; y+z ; x+z ta có Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= Vậy S . Vậy S có mức giá trị lớn nhất là khi x=y=z= lấy ví dụ 3: mang đến xy+yz+zx = 1. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski đến 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta gồm (1) Áp dụng BĐT Bunhiacốpski mang đến () với (1,1,1)Ta có Từ (1) và (2) Vậy có mức giá trị nhỏ tuổi nhất là khi x=y=z= lấy ví dụ 4 : vào tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông làm sao có diện tích s lớn nhất Giải: call cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao ở trong cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta bao gồm S = bởi vì a ko đổi cơ mà x+y = 2a. Vậy S lớn nhất lúc x.y lớn nhất Vậy trong những tam giác gồm cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích s lớn duy nhất 2/ cần sử dụng Bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình lấy ví dụ như 1:Giải phương trình: Giải : Ta có Vậy vệt ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy lúc x = -1 Vậy phương trình gồm nghiệm tuyệt nhất x = -1 lấy ví dụ 2: Giải phương trình Giải : vận dụng BĐT BunhiaCốpski ta có : lốt (=) xẩy ra khi x = một mặt khác vết (=) xẩy ra khi y = - Vậy lúc x =1 với y =- Vậy nghiệm của phương trình là lấy ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau: Giải: áp dụng BĐT Côsi ta bao gồm Vì x+y+z = 1) yêu cầu Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = Vậy bao gồm nghiệm x = y = z = lấy một ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau từ bỏ phương trình (1) tốt Từ phương trình (2) nếu như x = thì y = 2 trường hợp x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình có nghiệm và 3/ cần sử dụng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên lấy ví dụ như 1: Tìm những số nguyên x,y,z hài lòng Giải:Vì x,y,z là những số nguyên bắt buộc (*) Mà những số x,y,z yêu cầu tìm là lấy một ví dụ 2: tìm nghiệm nguyên dương của phương trình Giải: không mất tính bao quát ta trả sử Ta có Mà z nguyên dương vậy z = 1. Nắm z = 1 vào phương trình ta được Theo trả sử xy đề xuất 1 = mà y nguyên dương đề xuất y = 1 hoặc y = 2 cùng với y = 1 không thích phù hợp với y = 2 ta có x = 2 Vậy (2 ,2,1) là 1 trong nghiệm của phương trình Hoán vị những số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên nhất trí phương trình (*) Giải: (*) với x 0 , y > 0 Ta tất cả Đặt (k nguyên dương vì chưng x nguyên dương ) Ta có Nhưng nhưng mà giữa k với k+1 là hai số nguyên dương tiếp tục không tồn tại một trong những nguyên dương như thế nào cả Nên không có cặp số nguyên dương nào ưng ý phương trình . Vậy phương trình tất cả nghiệm tuyệt nhất là : bài bác tập đề nghị :Bài 1:Chứng minh rằng với tất cả a,b,c > 0 : HD : đưa vế quy đồng mẫu mang lại tổng bình phương những đẳng thức.Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: bài bác 3: đến a, b. C > 0 và a + b + c 1. Cmr : HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bài 4 : cho . Cmr :HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi mang lại , rồi cộng hai vế theo vế.Bài 5: mang đến a, b >1. Tra cứu GTNN của S = HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi mang đến và xét ngôi trường hợp vệt “=” xảy ra .Bài 9 : search GTLN cùng GTNN của y = HD: Đặt x= bài xích 10: mang lại 36xCmr : HD: Đặt : bài 11: Cmr : HD : Đặt x = bài xích 12: mang đến . Chứng tỏ rằng: bài xích 13: đến ABC có a, b, c là độ dài những cạnh. Chứng tỏ rằng: bài xích 14: mang đến . Minh chứng rằng bài 15: . Chứng minh rằng: bài bác 16: tất cả tồn vì sao cho: ?Bài 17: mang lại ABC có diện tích s bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên những cạnh BC, CA, AB đem lần lược các điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng: Trong tất cả các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có tối thiểu 1 diện tích nhỏ dại hơn hay bằng 1(đơn vị diện tích)