Bài tập toán 11 trang 132

     

Hướng dẫn giải bài bác §2. Giới hạn của hàm số, Chương IV. Giới hạn, sách giáo khoa Đại số cùng Giải tích 11. Nội dung bài bác giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11 bao hàm tổng vừa lòng công thức, lý thuyết, phương thức giải bài tập đại số với giải tích có trong SGK sẽ giúp đỡ các em học viên học xuất sắc môn toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài tập toán 11 trang 132

Lý thuyết

I. giới hạn hữu hạn

Cho khoảng chừng (K) chứa điểm (x_0) cùng hàm số (y = f(x)) khẳng định trên (K) hoặc trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi còn chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) với (x_n ightarrow x_0), ta có

(lim f(x_n) =L).

Cho hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng chừng ((x_0; b)).

(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi dãy số ((xn) bất kì, (x_0 a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).

Cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng tầm ((-∞; a)).

(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_nII. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong những nhiều loại giới hạn vô rất khác nhau:

Cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng tầm ((a; +∞)), (undersetx ightarrow+infty lim f(x) = -∞) khi và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì ta có (lim f(x_n) = -∞)

Cho khoảng chừng (K) cất điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc bên trên (Kackslash m x_0 m ).

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) còn chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) và (x_n ightarrow x_0) thì ta có (lim f(x_n) = +∞).

Nhận xét: (f(x)) có giới hạn (+∞ ) khi và chỉ khi (-f(x)) có giới hạn (-∞).

III. Những giới hạn quánh biệt

a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);

b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);

c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);

d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);

e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), cùng với (k) nguyên dương;

f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), nếu (k) là số lẻ;

g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , giả dụ (k) là số chẵn.

IV. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn

Định lí 1:

a) nếu (undersetx ightarrow x__0lim = L) cùng (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:

(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);

(undersetx ightarrow x__0lim

(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);

(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).

b) nếu như (f(x) ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào khi (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).

Định lí 2.

(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).

V. Quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))

*

b) quy tắc tìm số lượng giới hạn của thương (fracf(x)g(x))

*

(Dấu của (g(x)) xét bên trên một khoảng (K) nào đó sẽ tính giới hạn, cùng với (x ≠ x_0) ).

Dưới đây là phần hướng dẫn vấn đáp các câu hỏi và bài tập vào phần hoạt động của học sinh sgk Đại số và Giải tích 11.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang 123 sgk Đại số với Giải tích 11

Xét hàm số:

(displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1)

1. Cho biến đổi x đa số giá trị khác 1 lập thành hàng số xn, xn → 1 như trong bảng sau:

*

Khi đó, những giá trị khớp ứng của hàm số f(x1), f(x2),…, f(xn), …

cũng lập thành một dãy số cơ mà ta kí hiệu là (f(xn)).

a) chứng tỏ rằng (fleft( x_n ight) = 2x_n = dfrac2n + 2n)

b) Tìm giới hạn của hàng số (f(xn)).

2. Minh chứng rằng với hàng số bất kì xn, xn ≠ 1 và xn → 1, ta luôn có f(xn) → 2.

(Với đặc điểm thể hiện nay trong câu 2, ta nói hàm số (displaystyle f(x) = 2x^2 – 2x over x – 1) có giới hạn là 2 khi x dần dần tới 1).

Trả lời:

Ta có:

1. A) (displaystyle f(x_n) = 2x_n^2 – 2x_n over x_n – 1 = 2x_n(x_n – 1) over x_n – 1 ) (= 2x_n)

(displaystyle x_n = n+1 over n ) (displaystyle Rightarrow f(x_n) = 2x_n = 2.n+1 over n = 2n+2 over n)

b) (displaystyle mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) ) (displaystyle = mathop lim limits_n o + infty (2n+2 over n – 2) = mathop lim limits_n o + infty 2 over n)

Ta có: (displaystyle mathop lim limits_n o + infty 2 over n = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty (f(x_n) – 2) = 0 ) (displaystyle Rightarrow mathop lim limits_n o + infty f(x_n) = 2)

2. (lim f(x_n) = lim,2x_n ) (= 2lim x_n = 2.1 = 2)

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 127 sgk Đại số và Giải tích 11

Trong biểu thức (1) xác định hàm số $y = f(x)$ làm việc Ví dụ 4, nên thay $2$ ngay số nào để hàm số có giới hạn là $-2$ lúc $x → 1$?

Trả lời:

Để hàm số có số lượng giới hạn bằng ( – 2) tại (x = 1) thì (mathop lim limits_x o 1^ + fleft( x ight) = mathop lim limits_x o 1^ – fleft( x ight) = – 2) giỏi (5.1 + c = – 2 Leftrightarrow c = – 7).

Vậy buộc phải thay (2) bởi ( – 7) nhằm hàm số có giới hạn bằng ( – 2) tại (x = 1).

3. Trả lời thắc mắc 3 trang 127 sgk Đại số và Giải tích 11

Cho hàm số $f(x) = 1 over x – 2$ tất cả đồ thị như ở Hình 52

*

Quan gần kề đồ thị và cho biết:

– Khi biến đổi $x$ dần tới dương vô cực, thì f(x) dần dần tới cực hiếm nào.

– Khi vươn lên là $x$ dần tới âm vô cực, thì f(x) dần dần tới quý giá nào.

Trả lời:

– Khi đổi thay $x$ dần dần tới dương vô cực, thì $f(x)$ dần tới cực hiếm dương vô cực

– Khi biến $x$ dần tới âm vô cực, thì $f(x)$ dần tới giá trị âm vô cực

Dưới đó là phần giải đáp giải bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11. Chúng ta hãy gọi kỹ đầu bài trước lúc giải nhé!

Bài tập

thegioimucin.com.vn trình làng với các bạn đầy đủ cách thức giải bài tập đại số và giải tích 11 kèm bài bác giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số cùng Giải tích 11 của bài xích §2. Giới hạn của hàm số vào Chương IV. Giới hạn cho chúng ta tham khảo. Nội dung chi tiết bài giải từng bài xích tập các bạn xem dưới đây:

*
Giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11

1. Giải bài 1 trang 132 sgk Đại số với Giải tích 11

Dùng định nghĩa tìm những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 4limfracx+13x – 2);

b) (undersetx ightarrow +infty limfrac2-5x^2x^2+3).

Bài giải:

a) Hàm số (f(x) = fracx +13x – 2) xác minh trên (mathbb Rackslash left 2 over 3 ight\) với ta tất cả (x = 4 in left( 2 over 3; + infty ight))

Giả sử ((x_n)) là hàng số bất kỳ và (x_n ∈ left( 2 over 3; + infty ight)); (x_n≠ 4) cùng (x_n→ 4) lúc (n o + infty ).

Ta gồm (lim f(x_n) = lim fracx_n +13x_n – 2 = frac4 + 13. 4 – 2 = frac12).

Vậy (undersetx ightarrow 4lim) (fracx +13x – 2) = (frac12).

Xem thêm: Honda Click 150 Thái 2020 Giá Bao Nhiêu, Bảng Giá Xe Click Thái Mới Nhất 2020

b) Hàm số (f(x)) = (frac2-5x^2x^2+3) xác minh trên (mathbb R).

Giả sử ((x_n)) là dãy số bất kì và (x_n→ +∞) lúc (n o + infty )

Ta gồm (lim f(x_n) = lim frac2-5x^2_nx^2_n+3= lim fracfrac2x^2_n-51+frac3x^2_n = -5).

Vậy (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-5x^2x^2+3 = -5).

2. Giải bài xích 2 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Cho hàm số

(f(x) = left{ matrix{sqrt x + 1 ext nếu như xge 0 hfill cr2x ext giả dụ x 0) với (v_n= -frac1n (x → 0).

3. Giải bài xích 3 trang 132 sgk Đại số và Giải tích 11

Tính các giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1);

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2);

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6);

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x);

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1);

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x).

Bài giải:

a) (undersetx ightarrow -3lim) (fracx^2 -1x+1) = (frac(-3)^2-1-3 +1 = -4).

b) (undersetx ightarrow -2lim) (frac4-x^2x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim) (frac (2-x)(2+x)x + 2)

= (undersetx ightarrow -2lim (2-x) = 4).

c) (undersetx ightarrow 6lim) (fracsqrtx + 3-3x-6)

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac(sqrtx + 3-3)(sqrtx + 3+3 )(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (fracx +3-9(x-6) (sqrtx + 3+3 ))

= (undersetx ightarrow 6lim) (frac1sqrtx+3+3) = (frac16).

d) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2x-64-x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac2-frac6xfrac4x-1 = -2).

e) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac17x^2+1 = 0)

vì (undersetx ightarrow +infty lim) ((x^2+ 1) =) (undersetx ightarrow +infty lim x^2( 1 + frac1x^2) = +∞).

f) (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2x^2+x -13 +x)

= (undersetx ightarrow +infty lim) (frac-2+frac1x -frac1x^2frac3x^2 +frac1x = -∞),

vì (frac3x^2+frac1x > 0) với (∀x>0).

4. Giải bài xích 4 trang 132 sgk Đại số cùng Giải tích 11

Tìm những giới hạn sau:

a) (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2);

b) (undersetx ightarrow 1^-lim) (frac2x -7x-1);

c) (undersetx ightarrow 1^+lim) (frac2x -7x-1).

Bài giải:

a) Ta tất cả (undersetx ightarrow 2lim (x – 2)^2= 0) và ((x – 2)^2> 0) với (∀x ≠ 2) với (undersetx ightarrow 2lim (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0).

Do kia (undersetx ightarrow 2lim) (frac3x -5(x-2)^2 = +∞).

b) Ta có (undersetx ightarrow 1^-lim (x – 1)=0) với (x – 1 0) với (∀x > 1) và (undersetx ightarrow 1^+lim (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5

5. Giải bài bác 5 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Cho hàm số (f(x) = fracx+2x^2-9) bao gồm đồ thị như bên trên hình 53.

*

a) Quan liền kề đồ thị cùng nêu nhận xét về quý hiếm hàm số đã mang đến khi (x → -∞), (x → 3^-) và (x → -3^+)

b) Kiểm tra những nhận xét trên bằng phương pháp tính những giới hạn sau:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng ((-infty; -3)),

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng ((-3,3)),

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x)) cùng với (f(x)) được xét trên khoảng tầm ((-3; 3)).

Bài giải:

a) Quan cạnh bên đồ thị ta thấy:

Khi (x → -∞) thì (f(x) → 0);

Khi (x → 3^-) thì (f(x) → -∞);

Khi (x → -3^+) thì (f(x) → +∞).

b) Ta có:

(undersetx ightarrow -infty lim f(x) = undersetx ightarrow -infty lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -infty lim) (fracfrac1x+frac2x^21-frac9x^2 = 0).

(undersetx ightarrow 3^-lim f(x) = undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3.frac1x-3 = -∞ ) do (undersetx ightarrow 3^-lim)(fracx+2x+3) = (frac56 > 0) với (undersetx ightarrow 3^-lim frac1x-3 = -∞).

(undersetx ightarrow -3^+lim f(x) =) (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x^2-9) = (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) . (frac1x+3 = +∞)vì (undersetx ightarrow -3^+lim) (fracx+2x-3) = (frac-1-6) = (frac16 > 0) cùng (undersetx ightarrow -3^+lim) (frac1x+3 = +∞).

6. Giải bài xích 6 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Tính:

(eqalign& a)mathop lim limits_x o + infty (x^4 – x^2 + x – 1) cr& b)mathop lim limits_x o – infty ( – 2x^3 + 3x^2 – 5) cr& c)mathop lim limits_x o – infty (sqrt x^2 – 2x + 5) cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x cr )

Bài giải:

Ta có:

(eqalignsqrt 1 – 2 over x + 5 over x^2 = + infty cr& d)mathop lim limits_x o + infty sqrt x^2 + 1 + x over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty xleft( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 – 2x = mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 1 + 1 over x^2 + 1 ight) over 5 over x – 2 = – 1 cr )

7. Giải bài xích 7 trang 133 sgk Đại số với Giải tích 11

Một thấu kính quy tụ có tiêu cự là (f). Hotline (d) với (d’) theo thứ tự là khoảng cách từ một đồ thật (AB) và từ hình ảnh (A’B’) của chính nó tới quang vai trung phong (O) của thấu kính (h.54). Phương pháp thấu kính là (frac1d+frac1d’=frac1f.)

*

a) tra cứu biểu thức khẳng định hàm số (d’ = φ(d)).

b) tìm (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d)), (undersetd ightarrow f^- lim φ(d)) với (undersetd ightarrow +infty lim φ(d)). Giải thích chân thành và ý nghĩa của các tác dụng tìm được.

Bài giải:

a) trường đoản cú hệ thức (frac1d+frac1d’=frac1f.) Suy ra (d’ = φ(d) = fracfdd-f).

b) (undersetd ightarrow f^+ lim φ(d) = undersetd ightarrow f^+ lim) (fracfdd-f= +∞) .

Ý nghĩa: Nếu đồ dùng thật AB tiến dần về tiêu điểm F thế nào cho d luôn lớn hơn f thì ảnh của nó dần tới dương vô cực.

(undersetd ightarrow f^- limφ(d) =) (undersetd ightarrow f^- lim) (fracfdd-f = -∞).

Ý nghĩa: Nếu đồ dùng thật AB tiến dần về tiêu điểm F làm thế nào cho d luôn nhỏ dại hơn f thì ảnh của nó dần tới âm vô sực.

(undersetd ightarrow +infty lim φ(d) =) (undersetd ightarrow +infty lim) (fracfdd-f) = (undersetd ightarrow +infty lim) (fracf1-fracfd = f).

Xem thêm: Bỏ Túi Ngay Cách Làm Thế Nào Để Socola Không Bị Chảy Nước, Làm Thế Nào Để Socola Không Bị Chảy Nước

Ý nghĩa: Nếu thứ thật AB ngơi nghỉ xa vô cực so cùng với thấu kính thì hình ảnh của nó sống ngay trên tiêu diện ảnh (mặt phẳng qua tiêu điểm hình ảnh F’ với vuông góc với trục chính).

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn làm bài xuất sắc cùng giải bài bác tập sgk toán lớp 11 với giải bài bác 1 2 3 4 5 6 7 trang 132 133 sgk Đại số với Giải tích 11!