Bài tập hàm số liên tục nâng cao

     

Cho hàm số (y = fleft( x ight)) xác minh trên khoảng (left( a;b ight)) với (x_0 in left( a;b ight)). Để xét tính liên tục của hàm số (y = fleft( x ight)) tại (x_0) ta có tác dụng như sau:

- Tính (fleft( x_0 ight))

- Tính (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight))

- nếu (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)) thì tóm lại hàm số thường xuyên tại (x_0).

Bạn đang xem: Bài tập hàm số liên tục nâng cao

- giả dụ (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)) ko tồn tại hoặc (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) e fleft( x_0 ight)) thì tóm lại hàm số không thường xuyên tại (x_0).

Khi xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một tập, ta thực hiện định lí 1 và định lí 2 trong phần lí thuyết.


*

Luyện bài xích tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - xem ngay


*

*

*

*

Bài viết bên dưới đây sẽ giúp đỡ ta biết phương pháp xét tính liên tiếp của hàm số, áp dụng giải những dạng bài xích tập về hàm số tiếp tục như: Xét tính thường xuyên của hàm số tại 1 điểm (x=0), bên trên một đoạn hay là một khoảng, tìm các điểm cách trở của hàm số, hay chứng minh phương trình f(x)=0 gồm nghiệm.

I. định hướng về hàm số tiếp tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tiếp tại 1 điểm

- Định nghĩa: mang đến hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) với x0∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được call là liên tục tại x0 nếu:


- Hàm số f(x0) không liên tiếp tại điểm x0 thì x0 được hotline là điểm cách biệt của hàm số f(x).

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được call là thường xuyên trên một khoảng chừng nếu nó tiếp tục tại số đông điểm của khoảng chừng đó.

- Hàm số y = f(x) được hotline là liên tiếp trên đoan ví như nó liên tục trên khoảng tầm (a;b) và:


3. Một trong những định lý cơ phiên bản về hàm số liên tục

Định lý 1:

a) Hàm số nhiều thức tiếp tục trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và những hàm con số giác liên tiếp trên từng khoảng của tập xác định của chúng.

Định lý 2:

- đưa sử f(x) cùng g(x) là nhì hàm số tiếp tục tại điểm x0. Khi đó:

a) những hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) và f(x).g(x) thường xuyên tại x0.

b) hàm số
liên tục tại x0 giả dụ g(x0)≠ 0.

Định lý 3:

- trường hợp hàm số y = f(x) liên tiếp trên đoạn với f(a)f(b) II. Những dạng bài xích tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính tiếp tục của hàm số trên điểm x0.

* Phương pháp:

- cách 1:Tính f(x0)

- bước 2:Tính
hoặc

- cách 3: So sánh:
hoặc
với
rồi đúc kết kết luận

- Nếu
hoặc
thì kết luận hàm số thường xuyên tại

- Nếu
không trường tồn hoặc
thì tóm lại hàm số không liên tục tại x0.

- cách 4:Kết luận.

* lấy ví dụ 1(Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):Dùng có mang xét tính liên tiếp của hàm số f(x)=x3+ 2x - 1 trên x0=3.

° lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x3+ 2x - 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32


⇒ f(x) thường xuyên tại x0 = 3.

* Ví dụ2 (Bài2 trang 140 SGK Đại số 11):a) Xét tính liên tiếp của hàm số y = g(x) trên x0= 2, biết:


b) vào biểu thức g(x) ngơi nghỉ trên, nên thay số 5 vày số nào đó nhằm hàm số thường xuyên tại x0= 2.

° giải thuật ví dụ 2 (Bài2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.


⇒ g(x) không liên tiếp tại x0 = 2.

b)Để g(x) tiếp tục tại x0 = 2 thì:


-Vậy chỉ cần thay 5 bằng 12 thì hàm số thường xuyên tại x0 = 2.

* lấy ví dụ như 3:Xét tính thường xuyên của hàm số sau trên điểm x = 1.

Xem thêm: Bình Nước Thể Thao Lock&Amp;Lock, Bình Nước Thể Thao Lock Giá Tốt Tháng 4, 2022


° giải thuật ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1


⇒ Vậy hàm số f(x) không thường xuyên (gián đoạn) tại điểm x = 1.

* ví dụ 4:Xét tính thường xuyên của hàm số sau trên điểm x = 0.


° giải mã ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.


⇒ Vậy hàm số f(x) thường xuyên tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính tiếp tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tiếp của hàm số bên trên từng khoảng khẳng định của nó.

- trường hợp hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xét tính thường xuyên tại những điểm quan trọng đặc biệt của hàm số đó.

* lấy một ví dụ 1: đến hàm số

Chứng minh rằng hàm số thường xuyên trên khoảng chừng (-7;+∞).

° Lời giải:

•Khi x > 2 thì f(x) = x2 - x + 4 là hàm liên tục trên khoảng tầm (2;+∞).

•Khi -7

- Kết luận: Hàm số f(x) thường xuyên trên khoảng tầm (-7;+∞).

* lấy một ví dụ 2:Tìm a, b để hàm số sau liên tục:

° Lời giải:

•Khi x 5 thì f(x) = 3 là hàm hằng buộc phải nó thường xuyên trên khoảng chừng (5;+∞).

•Khi x = 3 thì f(3) = 3a + b



⇒ Để hàm số liên tiếp tại điểm x = 3 thì:



(**)

Từ (*) với (**) ta có:

- Vậy khi a = 1 với b = -2 thì hàm số f(x) tiếp tục trên R, khi đó:


* ví dụ 3 (Bài 4 trang 141 SGK Đại số 11):Cho những hàm số
xác định khi và chỉ còn khi:

x2 + x - 6≠ 0⇔ x≠ 2 cùng x≠ -3.

⇒ TXĐ: D = R-3;2

- Hàm số f(x) liên tục trên những khoảng (-∞;-3), (-3;2) cùng (2;+∞).

• Hàm sốg(x) = tanx + sinxxác định khi và chỉ còn khi:


° Dạng 3:Tìm điểm cách trở của hàm số f(x)

* Phương pháp:x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) ví như tại điểm x0 hàm số ko liên tục. Thông thường x0 vừa lòng một trong số trường phù hợp sau:

1) f(x) không tồn tại

2)

* Ví dụ: đến a với b là hai tham số, tìm các điểm gián đoạn của hàm số sau:


⇒ x = 0 là điểm gián đoạn của hàm số.

• trên x = 3.

- Ta có: f(3) = b và




- Nếu
và với đa số a thì điểm cách biệt của hàm số là x = 0; x = 3;

- Nếu
và với đa số a thì điểm đứt quãng của hàm số là x = 0;

° Dạng 4: chứng tỏ phương trình f(x) = 0 tất cả nghiệm.

* Phương pháp:

1) triệu chứng mình phương trình f(x) = 0 có tối thiểu một nghiệm


- Tìm hai số a, b sao để cho f(a).f(b) * ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11):Chứng minh rằng phương trình:

a) 2x3– 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) cosx = x gồm nghiệm

° lời giải ví dụ 1 (Bài 6 trang 141 SGK Đại số 11):

a) Đặt f(x) = 2x3– 6x + 1

-TXĐ: D = R

- f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

- Vậy ta có:

f(-2) = 2.(-2)3– 6(-2) + 1 = - 3 0

f(1) = 2.13– 6.1 + 1 = -3 0

⇒ g(-π). G(π) * Ví dụ2:Chứng minh rằng phương trình (1 - m2)x5 - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm với đa số m.

Xem thêm: Đề Thi Toán Lớp 4 - Toán Lớp 4: Đề Thi Cuối Học Kì 1 #Mshanh #Toan4

° giải mã ví dụ 2:

• Đặt f(x) =(1 - m2)x5- 3x - 1

- Ta có: f(0) = -1; f(-1) = m2 + 1

⇒ f(0).f(-1) = -1.(m2+ 1) = -(m2+ 1) * ví dụ 3:Cho phương trình ax2 + bx + c = 0, (a≠ 0) thỏa mãn nhu cầu 2a + 6b + 19c = 0. Chứng tỏ phương trình có nghiệm trong <0;1/3>.